540. 1) Корней, Матвей и Пантелей измеряли длину своих бород. Выяснилось, что у Корнея длина бороды равна \(b\) см, и она равна \(\frac{8}{9}\) длины бороды Матвея. Борода Матвея по длине составляет \(\frac{3}{32}\) бороды Пантелея. Во сколько раз у Пантелея борода длиннее, чем у Корнея? Зависит ли ответ от значения \(b\)? 2) Собака гонится за зайцем. За минуту собака делает 200 скачков, что составляет \(\frac{2}{3}\) числа скачков, которые делает за минуту заяц. Длина заячьего скачка равна 90 см, что составляет \(\frac{3}{5}\) длины собачьего скачка. С какими скоростями бегут собака и заяц? Каким станет расстояние между ними через 5 минут, если сейчас заяц впереди собаки на 500 метров?

1) Обозначим длину бороды Корнея через \(K=b\), Матвея — через \(M\), Пантелея — через \(P\).

Из условия \(K=\frac{8}{9}M\), значит, \(M=\frac{9}{8}b\). Также \(M=\frac{3}{32}P\), поэтому \(P=\frac{32}{3}M=\frac{32}{3}\cdot\frac{9}{8}b=12b\).

Отношение длины бороды Пантелея к длине бороды Корнея: \(\frac{P}{K}=\frac{12b}{b}=12\) (при положительной длине бороды \(b\)). Значение \(b\) сокращается, поэтому ответ от него не зависит.

2) Число скачков зайца за минуту: \(200:\frac{2}{3}=300\). Длина собачьего скачка: \(90:\frac{3}{5}=150\) см.

Скорость собаки: \(200\cdot150=30\,000\) см/мин = 300 м/мин = 18 км/ч. Скорость зайца: \(300\cdot90=27\,000\) см/мин = 270 м/мин = 16,2 км/ч.

За минуту собака сокращает расстояние на \(300-270=30\) м. За 5 минут она сократит его на \(30\cdot5=150\) м. Первоначальные 500 м превратятся в \(500-150=350\) м.

Ответ: 1) борода Пантелея в 12 раз длиннее; ответ не зависит от \(b\). 2) скорость собаки — 300 м/мин (18 км/ч), зайца — 270 м/мин (16,2 км/ч); через 5 минут расстояние составит 350 м.