543. Начертите параллелограмм ABCD и отметьте точку M, симметричную точке D относительно точки C. Докажите, что S_{ABCD} = S_{AMD}.

Поскольку M симметрична D относительно C, точка C — середина отрезка DM, а точки D, C, M лежат на одной прямой. Продлим сторону DC до M, так что CM = CD.

Обозначим через h расстояние от A до прямой DM. Высота параллелограмма ABCD, проведённая к основанию DC, равна h. Так как DM = DC + CM = 2DC, площадь треугольника AMD равна половине произведения основания DM на высоту h:

\(S_{AMD} = \frac{1}{2}DM\cdot h = \frac{1}{2}(2DC)h = DC\cdot h.\)

Площадь параллелограмма равна произведению основания DC на высоту h: \(S_{ABCD}=DC\cdot h\). Следовательно, площади равны.

Ответ: \(S_{ABCD}=S_{AMD}\).