55. На рисунке 95 ∠AOD = ∠COF, ∠DOC = ∠BOF. Докажите, что OC ⟂ AB.

Луч OC делит развернутый угол AOB на углы AOC и COB.

Так как лучи OA и OB — противоположные, а лучи OD и OF расположены по одну сторону от прямой AB, имеем:

\(\angle AOD+\angle DOC+\angle COB=180^\circ\).

По условию \(\angle AOD=\angle COF\) и \(\angle DOC=\angle BOF\). Поэтому сумма углов, образованных лучами \(OC\) и \(OF\), равна сумме углов, образованных лучами \(OA\) и \(OB\). Следовательно, луч OC является биссектрисой развернутого угла \(AOB\).

Значит, \(\angle AOC=\angle COB=90^\circ\).

Ответ: \(OC\perp AB\).