55 Прямые АВ и АС касаются окружности с центром О в В и С. Найдите ВС, если ОАВ = 30°, АВ = 5 см.

Краткое пояснение:

• Отрезки касательных, проведенные из одной точки к окружности, равны. Следовательно, \( AB = AC \).
• Радиусы, проведенные к точкам касания, перпендикулярны касательным. Следовательно, \( \angle OBA = \angle OCA = 90^{\circ} \).
• Треугольники \( OBA \) и \( OCA \) равны по гипотенузе и катету.

Решение:

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник \( OBA \).
2. Дано: \( AB = 5 \) см, \( \angle OAB = 30^{\circ} \).
3. В прямоугольном треугольнике \( OBA \): \( OB = AB \cdot \tan(\angle OAB) \).
4. \( OB = 5 \text{ см} \cdot \tan(30^{\circ}) \).
5. \( \tan(30^{\circ}) = 1 / \sqrt{3} \).
6. \( OB = 5 / \sqrt{3} = 5\sqrt{3} / 3 \) см.
7. Так как \( AC = AB = 5 \) см и \( OC = OB = 5\sqrt{3} / 3 \) см, то треугольник \( ABC \) — равнобедренный.
8. Рассмотрим треугольник \( OBC \). \( OB = OC \) (радиусы), поэтому треугольник \( OBC \) — равнобедренный.
9. Угол \( \angle AOB \) можно найти из \( \triangle OBA \): \( \angle AOB = 90^{\circ} - \angle OAB = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ} \).
10. Аналогично, \( \angle AOC = 60^{\circ} \).
11. \( \angle BOC = \angle AOB + \angle AOC = 60^{\circ} + 60^{\circ} = 120^{\circ} \).
12. В равнобедренном треугольнике \( OBC \) с углом \( 120^{\circ} \) при вершине, углы при основании равны: \( \angle OBC = \angle OCB = (180^{\circ} - 120^{\circ}) / 2 = 30^{\circ} \).
13. Найдем длину \( BC \) с помощью теоремы косинусов в \( \triangle OBC \):
    \( BC^2 = OB^2 + OC^2 - 2 \cdot OB \cdot OC \cdot \cos(\angle BOC) \)
14. \( BC^2 = (5\sqrt{3}/3)^2 + (5\sqrt{3}/3)^2 - 2 \cdot (5\sqrt{3}/3) \cdot (5\sqrt{3}/3) \cdot \cos(120^{\circ}) \)
15. \( BC^2 = (25 \cdot 3 / 9) + (25 \cdot 3 / 9) - 2 \cdot (25 \cdot 3 / 9) \cdot (-1/2) \)
16. \( BC^2 = 25/3 + 25/3 + 25/3 = 75/3 = 25 \)
17. \( BC = \sqrt{25} = 5 \) см.
18. Альтернативный способ: Треугольник \( OBA \) прямоугольный, \( \angle OAB = 30^{\circ} \), \( AB = 5 \) см. Тогда \( OB = AB \tan(30^{\circ}) = 5 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{3} \) см. \( OA = AB / \cos(30^{\circ}) = 5 / (\sqrt{3}/2) = \frac{10}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{3}}{3} \) см. \( \triangle OAC \) равен \( \triangle OAB \). \( \angle BAC = \angle OAB + \angle OAC = 30^{\circ} + 30^{\circ} = 60^{\circ} \). \( \triangle ABC \) — равнобедренный с \( AB = AC = 5 \) см, и угол между равными сторонами \( 60^{\circ} \), значит, \( \triangle ABC \) — равносторонний.

Ответ: 5 см