Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 550. Решите системы уравнений: а) {(x² − y²)(x + y) = 32; x − y = 2}; б) {(x² − y²)(x − y) = 20; x + y = 5}.Фото задания

Ответ:

а) Разложим разность квадратов: \((x^2-y^2)(x+y)=(x-y)(x+y)^2\). Обозначим сумму переменных через \(s=x+y\). Тогда \(2s^2=32\), откуда \(s=4\) или \(s=-4\).

  1. Если \(x+y=4\) и \(x-y=2\), то \(x=3,\ y=1\).
  2. Если \(x+y=-4\) и \(x-y=2\), то \(x=-1,\ y=-3\).

б) Используем тождество \(x^2-y^2=(x-y)(x+y)\). Тогда \((x-y)^2(x+y)=20\). Из условия \(x+y=5\), поэтому \((x-y)^2=4\), то есть \(x-y=2\) или \(x-y=-2\).

  1. При \(x-y=2\) и \(x+y=5\): \(x=\frac{7}{2},\ y=\frac{3}{2}\).
  2. При \(x-y=-2\) и \(x+y=5\): \(x=\frac{3}{2},\ y=\frac{7}{2}\).

Ответ: а) \((3;1),\ (-1;-3)\); б) \(\left(\frac{7}{2};\frac{3}{2}\right),\ \left(\frac{3}{2};\frac{7}{2}\right)\).