551. Решите системы уравнений: а) {(x − 3y)(x + 4) = 0; x − 5y = 1}; б) {(x + 4y)(x − 3) = 0; x + 3y = 1}; в) {(x − 1)(y + 4) = 0; y² + xy − 2 = 0}; г) {(x + 2)(y − 1) = 0; x² − xy − 12 = 0}.

Question

Вопрос:

Фото задания: 551. Решите системы уравнений: а) {(x − 3y)(x + 4) = 0; x − 5y = 1}; б) {(x + 4y)(x − 3) = 0; x + 3y = 1}; в) {(x − 1)(y + 4)…

551. Решите системы уравнений: а) {(x − 3y)(x + 4) = 0; x − 5y = 1}; б) {(x + 4y)(x − 3) = 0; x + 3y = 1}; в) {(x − 1)(y + 4) = 0; y² + xy − 2 = 0}; г) {(x + 2)(y − 1) = 0; x² − xy − 12 = 0}.

Accepted Answer

В первом уравнении каждой системы произведение равно нулю, поэтому рассматриваем случаи, когда каждый из множителей равен нулю.

а)

Если \(x-3y=0\), то \(x=3y\). Подставляя во второе уравнение, получаем \(3y-5y=1\), откуда \(y=-\frac12,\ x=-\frac32\).
Если \(x+4=0\), то \(x=-4\). Тогда \(-4-5y=1\), откуда \(y=-1\).

б)

Если \(x+4y=0\), то \(x=-4y\). Из \(x+3y=1\) получаем \(-y=1\), значит, \((x;y)=(4;-1)\).
Если \(x-3=0\), то \(x=3\). Тогда \(3+3y=1\), значит, \((x;y)=\left(3;-\frac23\right)\).

в)

Если \(x-1=0\), то \(x=1\). Второе уравнение становится \(y^2+y-2=0=(y+2)(y-1)\), поэтому получаем \((1;1)\) и \((1;-2)\).
Если \(y+4=0\), то \(y=-4\). Тогда \(16-4x-2=0\), откуда \(x=\frac72\). Получаем \(\left(\frac72;-4\right)\).

г)

Если \(x+2=0\), то \(x=-2\). Из второго уравнения \(4+2y-12=0\), значит, \(y=4\).
Если \(y-1=0\), то \(y=1\). Тогда \(x^2-x-12=0=(x-4)(x+3)\), поэтому \((x;y)=(4;1)\) или \((-3;1)\).

Ответ: а) \(\left(-\frac32; -\frac12\right),\ (-4;-1)\); б) \((4;-1),\ \left(3;-\frac23\right)\); в) \((1;1),\ (1;-2),\ \left(\frac72;-4\right)\); г) \((-2;4),\ (4;1),\ (-3;1)\).