553. Решите систему уравнений: 1) {x² + xy + y² = 13, x + y = 4; 2) {x + xy − y = 13, x − y = 3.

1) Из второго уравнения \(x+y=4\). Используем равенство \(x^2+xy+y^2=(x+y)^2-xy\):

\(16-xy=13\), поэтому \(xy=3\).

Числа x и y имеют сумму 4 и произведение 3. Они являются корнями уравнения \(t^2-4t+3=0\): \((t-1)(t-3)=0\). Следовательно, пары: \((x,y)=(1,3)\) и \((3,1)\).

2) Из второго уравнения \(x-y=3\). Первое уравнение перепишем как \((x-y)+xy=13\), значит, \(xy=10\). Подставим \(x=y+3\):

\(y(y+3)=10\), \(y^2+3y-10=0\), \((y+5)(y-2)=0\).

Если \(y=2\), то \(x=5\). Если \(y=-5\), то \(x=-2\).

Ответ: 1) \((1,3)\), \((3,1)\); 2) \((5,2)\), \((-2,-5)\).