563. Найдите катеты прямоугольного треугольника, если известно, что их сумма равна 23 см, а площадь данного треугольника равна 60 см².

Обозначим катеты прямоугольного треугольника как \( x \) и \( y \). Из условия задачи нам известно: 1. Сумма катетов: \( x + y = 23 \) см. 2. Площадь треугольника: \( \frac{1}{2}xy = 60 \) см². Сначала, выразим \( y \) через \( x \) из первого уравнения: \[ y = 23 - x \] Теперь, преобразуем второе уравнение: \[ \frac{1}{2}xy = 60 \] \[ xy = 120 \] Подставим выражение для \( y \) во второе уравнение: \[ x(23 - x) = 120 \] \[ 23x - x^2 = 120 \] \[ x^2 - 23x + 120 = 0 \] Решим квадратное уравнение через дискриминант: \[ D = (-23)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 120 = 529 - 480 = 49 \] \[ x_{1,2} = \frac{-(-23) \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{23 \pm 7}{2} \] \[ x_1 = \frac{23 + 7}{2} = \frac{30}{2} = 15 \] \[ x_2 = \frac{23 - 7}{2} = \frac{16}{2} = 8 \] Если \( x = 15 \), то \( y = 23 - 15 = 8 \). Если \( x = 8 \), то \( y = 23 - 8 = 15 \). Таким образом, катеты прямоугольного треугольника равны 15 см и 8 см. **Ответ:** Катеты прямоугольного треугольника равны 15 см и 8 см.