567. Докажите, что середины сторон произвольного четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.

Рассмотрим произвольный четырехугольник ABCD. Обозначим середины его сторон как M, N, P и Q, где M - середина AB, N - середина BC, P - середина CD, и Q - середина DA. Соединим M с N, N с P, P с Q, и Q с M. Рассмотрим треугольник ABC. Отрезок MN является средней линией, следовательно, MN || AC и MN = 1/2 AC. Аналогично, в треугольнике ADC отрезок QP является средней линией, поэтому QP || AC и QP = 1/2 AC. Из этого следует, что MN || QP и MN = QP, значит, MNQP – параллелограмм. Таким образом, середины сторон произвольного четырехугольника являются вершинами параллелограмма.