568. Докажите, что четырёхугольник — ромб, если его вершинами являются середины сторон: a) прямоугольника; б) равнобедренной трапеции.

a) Пусть ABCD - прямоугольник. Обозначим середины сторон как M, N, P и Q, где M - середина AB, N - середина BC, P - середина CD, и Q - середина DA. Из задачи 567 знаем, что MNPQ - параллелограмм. В прямоугольнике ABCD диагонали равны (AC = BD) и пересекаются в середине. Рассмотрим треугольники ABM и ADQ. AM = AQ, т.к. середины, AB=AD т.к. стороны прямоугольника и углы AMB и ADQ = 90 градусов. Тогда треугольник ABM = ADQ, значит MN=QM. Следовательно, MNPQ - ромб.
б) Пусть ABCD - равнобедренная трапеция с основаниями AD и BC. Обозначим середины сторон как M, N, P и Q. Как и в пункте (a) MNPQ - параллелограмм. В равнобедренной трапеции диагонали равны (AC = BD), т.к. диагонали равны и углы у основания равны, следовательно MNPQ - ромб.