568. Докажите, что если к трёхзначному числу справа приписать такое же число, то получится шестизначное число, кратное 7, 11 и 13.

Обозначим исходное трёхзначное число через \(n\). Приписать справа такое же число означает умножить его на 1000 и прибавить исходное число:

\(1000n+n=1001n.\)

Разложим множитель: \(1001=7\cdot11\cdot13\). Поэтому полученное число делится на 7, на 11 и на 13.

Что и требовалось доказать.