57. Дана треугольная пирамида DABC. Точка T лежит на ребре DB, а точка E — на продолжении ребра DC. Постройте: а) точку пересечения прямой TE и плоскости ABC; б) прямую, по которой пересекаются плоскости ATE и ABC.

а) Обозначим искомую точку через X.

1. Плоскости DBC и ABC пересекаются по прямой BC.
2. Точки T и E лежат в плоскости DBC, поэтому прямая TE также лежит в этой плоскости.
3. Следовательно, искомая точка — пересечение прямых TE и BC: \(X=TE\cap BC\).

б) Плоскость ATE содержит прямую TE и точку A. Поскольку X принадлежит TE, точки A и X принадлежат обеим плоскостям ATE и ABC. Значит, их линия пересечения — прямая AX.

Ответ: а) \(X=TE\cap BC\); б) прямая AX.