59. Треугольник ABC и параллелограмм ABED лежат в разных плоскостях. Точка O лежит на стороне DE, а точка P — на продолжении стороны AD. Постройте: а) точку пересечения прямой OP с плоскостью ABC; б) прямую, по которой пересекаются плоскости ABC и CPO.

Обозначим \(X=OP\cap AB\). Точка X существует как пересечение прямых OP и AB (если эти прямые не параллельны).

а) Прямая OP лежит в плоскости параллелограмма ABED. Плоскости ABED и ABC пересекаются по прямой AB. Поэтому искомая точка пересечения прямой OP с плоскостью ABC — точка X, где \(X=OP\cap AB\).

б) Плоскость CPO содержит точки C и P, а также X, поскольку X лежит на OP. Точка X принадлежит AB, следовательно, лежит и в плоскости ABC. Обе плоскости содержат C и X, поэтому их линия пересечения — прямая CX.

Ответ: а) \(X=OP\cap AB\); б) прямая CX.

Схема условная: без заданного расположения точек числовые координаты и взаимное положение прямых на рисунке не фиксированы.