58. Треугольник ABC и ABD не лежат в одной плоскости (рис. 27). O ∈ AB, T ∈ CB, P = AC ∩ OT. а) Назовите точку пересечения прямой PT и плоскости ABD. б) По какой прямой пересекаются плоскости TPD и ABD? в) Докажите, что прямая TD лежит в плоскости CBD. г) Докажите, что точка O лежит в плоскости TD.

а) Так как \(P\) и \(T\) лежат на прямой \(OT\), прямая \(PT\) совпадает с \(OT\). Точка O принадлежит AB, а значит, плоскости ABD. При этом прямая OT пересекает плоскость ABD в точке O.

Ответ к а): O.

б) Плоскость TPD содержит прямую PT, то есть OT, и точку D. Она содержит O и D. Плоскость ABD также содержит O и D, поэтому линия пересечения этих плоскостей — прямая OD.

Ответ к б): прямая OD.

в) Точки T и D принадлежат плоскости CBD: \(T\in CB\subset CBD\), а D — вершина этой плоскости. Следовательно, прямая TD лежит в плоскости CBD.

г) В условии, вероятно, пропущено обозначение прямой: точка не может «лежать на плоскости TD», поскольку TD обозначает прямую. Если имеется в виду прямая TD, утверждение в общем случае неверно: по условию O лежит на AB, а не на TD. Если имеется в виду плоскость TPD, то O лежит в ней, поскольку O принадлежит OT=PT. Уточните формулировку подпункта г).