57. Имеет ли корни многочлен: а) x² + 1; б) x³ − 27; в) −2u⁶ − 1; г) u⁴ + 3u² + 7?

1. Для действительных \(x\) имеем \(x^2\ge 0\), поэтому \(x^2+1\ge 1\). Действительных корней нет.
2. \(x^3-27=(x-3)(x^2+3x+9)\). При \(x=3\) многочлен равен нулю, значит, корень есть: \(x=3\).
3. Для действительных \(u\) имеем \(u^6\ge 0\), поэтому \(-2u^6-1\le -1\). Действительных корней нет.
4. Положим \(t=u^2\), тогда \(t\ge 0\), а \(u^4+3u^2+7=t^2+3t+7>0\). Действительных корней нет.

Ответ: а) нет; б) да, \(x=3\); в) нет; г) нет (в действительных числах).