57. Моторная лодка отправляется, затратив на обратный путь на 2 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Обозначим скорость лодки в неподвижной воде как x км/ч, а скорость течения реки как y км/ч. Скорость лодки по течению будет (x + y) км/ч, а против течения — (x - y) км/ч.
2. Шаг 2: По условию задачи, скорость течения реки y = 3 км/ч.
3. Шаг 3: Обозначим время, затраченное на путь по течению, как t часов. Тогда время на обратный путь (против течения) будет (t - 2) часа.
4. Шаг 4: Расстояние, пройденное по течению, равно скорости, умноженной на время: S = (x + 3) * t.
5. Шаг 5: Расстояние, пройденное против течения, равно: S = (x - 3) * (t - 2).
6. Шаг 6: Так как расстояние одинаковое, приравниваем уравнения: (x + 3) * t = (x - 3) * (t - 2).
7. Шаг 7: Раскрываем скобки: xt + 3t = xt - 2x - 3t + 6.
8. Шаг 8: Упрощаем уравнение: 3t = -2x - 3t + 6.
9. Шаг 9: Переносим все члены с t в одну сторону: 6t = 6 - 2x.
10. Шаг 10: Выражаем t: t = (6 - 2x) / 6 = (3 - x) / 3.
11. Шаг 11: Так как время не может быть отрицательным, и скорость лодки должна быть больше скорости течения (для движения против течения), то x > 3. Также t > 0, значит 3 - x > 0, то есть x < 3. Получается противоречие. Это означает, что в условии задачи, скорее всего, есть ошибка, или я неправильно трактовал условие. Переосмыслим задачу.
12. Переосмысление: Возможно, время на путь по течению больше, чем на обратный путь (против течения). Давайте предположим, что время на путь против течения равно t, а время по течению — t - 2.
13. Шаг 12: Расстояние по течению: S = (x + 3) * (t - 2).
14. Шаг 13: Расстояние против течения: S = (x - 3) * t.
15. Шаг 14: Приравниваем: (x + 3) * (t - 2) = (x - 3) * t.
16. Шаг 15: Раскрываем скобки: xt - 2x + 3t - 6 = xt - 3t.
17. Шаг 16: Упрощаем: -2x + 3t - 6 = -3t.
18. Шаг 17: Переносим члены с t: 6t = 2x + 6.
19. Шаг 18: Выражаем t: t = (2x + 6) / 6 = (x + 3) / 3.
20. Шаг 19: Теперь подставляем выражение для t в одно из уравнений для расстояния. Возьмем уравнение для пути против течения: S = (x - 3) * t = (x - 3) * (x + 3) / 3.
21. Шаг 20: По условию, расстояние не дано. Эта задача не имеет решения без указания расстояния. Если предполагается, что «на путь против течения» означает то же расстояние, что и «по течению», то это стандартная задача. Но без расстояния ее решить невозможно.
22. Предположение: Вероятно, в задаче пропущено расстояние. Если предположить, что расстояние равно 255 км (как в следующей задаче), то:
23. Шаг 21: 255 = (x - 3) * (x + 3) / 3.
24. Шаг 22: 765 = (x - 3) * (x + 3).
25. Шаг 23: 765 = x^2 - 9.
26. Шаг 24: x^2 = 774.
27. Шаг 25: x = sqrt(774) ≈ 27.82 км/ч.
28. Вывод: Скорее всего, в задаче 57 пропущено расстояние.

Ответ: Задача не имеет решения без указания расстояния.