57. Моторная лодка прошла против течения реки 72 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч.

Краткая запись:

• Расстояние (S): 72 км
• Разница во времени: 2 часа
• Скорость течения (v_{теч}): 3 км/ч
• Найти: Скорость лодки в неподвижной воде (v_{л}) — ?

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Обозначим скорость лодки в неподвижной воде как $$v_л$$ км/ч.
2. Шаг 2: Скорость лодки против течения реки равна $$v_л - v_{теч} = v_л - 3$$ км/ч.
3. Шаг 3: Скорость лодки по течению реки равна $$v_л + v_{теч} = v_л + 3$$ км/ч.
4. Шаг 4: Время, затраченное на путь против течения, равно $$\frac{72}{v_л - 3}$$ часа.
5. Шаг 5: Время, затраченное на путь по течению (обратный путь), равно $$\frac{72}{v_л + 3}$$ часа.
6. Шаг 6: По условию, на обратный путь было затрачено на 2 часа меньше, чем на путь против течения. Составляем уравнение:
   $$\frac{72}{v_л - 3} - \frac{72}{v_л + 3} = 2$$
7. Шаг 7: Решаем уравнение. Умножим обе части на $$(v_л - 3)(v_л + 3)$$:
   $$72(v_л + 3) - 72(v_л - 3) = 2(v_л - 3)(v_л + 3)$$
   $$72v_л + 216 - 72v_л + 216 = 2(v_л^2 - 9)$$
   $$432 = 2v_л^2 - 18$$
   $$2v_л^2 = 432 + 18$$
   $$2v_л^2 = 450$$
   $$v_л^2 = 225$$
   $$v_л = \sqrt{225}$$
   $$v_л = 15$$ км/ч.

Ответ: 15 км/ч