587. Докажите, что площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле \(S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\), где \(a\) — сторона треугольника.

Проведём высоту равностороннего треугольника к стороне длины \(a\). Она делит эту сторону пополам, поэтому половина основания равна \(\frac{a}{2}\).

По теореме Пифагора высота равна:

\(h=\sqrt{a^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2}=\sqrt{\frac{3a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\).

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту:

\(S=\frac{1}{2}ah=\frac{1}{2}a\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\).

Следовательно, формула доказана.