59. Периметр прямоугольного треугольника равен 84 см, а его гипотенуза равна 37 см. Найдите площадь этого треугольника.

Пусть катеты равны \(a\) и \(b\). Тогда из периметра \(a+b=84-37=47\), а по теореме Пифагора \(a^2+b^2=37^2=1369\).

Используем равенство \((a+b)^2=a^2+b^2+2ab\):

\(47^2=1369+2ab\), следовательно, \(2209-1369=2ab\), откуда \(ab=420\).

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов: \(S=\frac{ab}{2}=210\) см².

Ответ: 210 см².