59. Прямая, параллельная стороне АС треугольника АВС, пересекает стороны АВ и ВС в точках М и N соответственно, AC=18, MN=8. Площадь треугольника АВС равна 81. Найдите площадь треугольника MBN.

Дано:

• Треугольник ABC.
• MN || AC
• M ∈ AB, N ∈ BC
• AC = 18, MN = 8
• S_ABC = 81

Найти: S_MBN

Решение:

Так как MN || AC, то треугольник MBN подобен треугольнику ABC (по двум углам: ∠B общий, ∠BMN = ∠BAC как соответственные).

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Коэффициент подобия k = \[ \frac{MN}{AC} = \frac{8}{18} = \frac{4}{9} \]

Тогда отношение площадей:

• \[ \frac{S_{MBN}}{S_{ABC}} = k^2 = \left(\frac{4}{9}\right)^2 = \frac{16}{81} \]

Найдем площадь треугольника MBN:

• \[ S_{MBN} = S_{ABC} \times \frac{16}{81} = 81 \times \frac{16}{81} = 16 \]

Ответ: 16