591. 2) Высота усеченного конуса равна h, радиусы оснований относятся как 1 : 3, угол между образующей и плоскостью основания равен 45°. Найдите площадь поверхности усеченного конуса.

Решение:

Пусть радиусы оснований усечённого конуса равны \( r \) и \( 3r \). Высота \( h \).

Угол между образующей \( l \) и плоскостью основания равен 45°. Это означает, что образующая \( l \) и радиус большего основания \( R = 3r \) образуют прямоугольный треугольник с катетами \( h \) и \( R - r \). Так как угол равен 45°, то \( h = R - r \).

1. Подставим \( R = 3r \): \( h = 3r - r = 2r \).
2. Выразим \( r \) и \( R \) через \( h \): \( r = \frac{h}{2} \) и \( R = 3 \cdot \frac{h}{2} = \frac{3h}{2} \).
3. Найдем образующую \( l \): \( l = \sqrt{h^2 + (R - r)^2} = \sqrt{h^2 + (2r)^2} = \sqrt{h^2 + h^2} = \sqrt{2h^2} = h\sqrt{2} \).
4. Площадь боковой поверхности: \( S_{бок} = \pi (R + r)l = \pi (\frac{3h}{2} + \frac{h}{2}) \cdot h\sqrt{2} = \pi (\frac{4h}{2}) \cdot h\sqrt{2} = \pi (2h) \cdot h\sqrt{2} = 2\pi h^2 \sqrt{2} \).
5. Площадь большего основания: \( S_1 = \pi R^2 = \pi (\frac{3h}{2})^2 = \frac{9\pi h^2}{4} \).
6. Площадь меньшего основания: \( S_2 = \pi r^2 = \pi (\frac{h}{2})^2 = \frac{\pi h^2}{4} \).
7. Площадь полной поверхности: \( S_{полн} = S_{бок} + S_1 + S_2 = 2\pi h^2 \sqrt{2} + \frac{9\pi h^2}{4} + \frac{\pi h^2}{4} = 2\pi h^2 \sqrt{2} + \frac{10\pi h^2}{4} = 2\pi h^2 \sqrt{2} + \frac{5\pi h^2}{2} = \pi h^2 (2\sqrt{2} + \frac{5}{2}) \).

Ответ: Площадь боковой поверхности \( 2\pi h^2 \sqrt{2} \), площадь полной поверхности \( \pi h^2 (2\sqrt{2} + \frac{5}{2}) \).