597. Лодка может проплыть расстояние между двумя селениями, стоящими на берегу реки, за 4 ч по течению реки и за 8 ч против течения. Скорость течения реки 2 км/ч. Найдите собственную скорость лодки и расстояние между селениями.

Привет! Давай разберемся с этой задачей про лодку и речку. Тут у нас есть движение по течению и против течения, а еще скорость самой реки.

Дано:

• Время по течению: 4 ч
• Время против течения: 8 ч
• Скорость течения реки: 2 км/ч

Найти:

• Собственная скорость лодки (v_л)
• Расстояние между селениями (S)

Решение:

1. Скорость лодки по течению (v_по_т). Когда лодка плывет по течению, скорость реки помогает ей, поэтому скорости складываются:
2. \[ v_{\text{по\_т}} = v_л + v_р \]
3. где v_л — собственная скорость лодки, а v_р — скорость реки (2 км/ч).
4. \[ v_{\text{по\_т}} = v_л + 2 \]
5. Скорость лодки против течения (v_против_т). Когда лодка плывет против течения, река ей мешает, поэтому скорости вычитаются:
6. \[ v_{\text{против\_т}} = v_л - v_р \]
7. \[ v_{\text{против\_т}} = v_л - 2 \]
8. Расстояние. Расстояние между селениями одинаковое и в одну, и в другую сторону. Используем формулу: Расстояние = Скорость × Время.
9. По течению:
10. \[ S = v_{\text{по\_т}} \times 4 = (v_л + 2) \times 4 \]
11. Против течения:
12. \[ S = v_{\text{против\_т}} \times 8 = (v_л - 2) \times 8 \]
13. Приравниваем расстояния, так как они равны:
14. \[ (v_л + 2) \times 4 = (v_л - 2) \times 8 \]
15. Раскрываем скобки и решаем уравнение:
16. \[ 4v_л + 8 = 8v_л - 16 \]
17. Переносим все, что с v_л, в одну сторону, а числа — в другую:
18. \[ 8 + 16 = 8v_л - 4v_л \]
19. \[ 24 = 4v_л \]
20. \[ v_л = \frac{24}{4} \]
21. \[ v_л = 6 \text{ км/ч} \]
22. Мы нашли собственную скорость лодки! Теперь найдем расстояние.
23. Подставляем скорость лодки в любое из уравнений для расстояния. Возьмем уравнение по течению:
24. \[ S = (6 + 2) \times 4 = 8 \times 4 = 32 \text{ км} \]
25. Проверим по другому уравнению (против течения):
26. \[ S = (6 - 2) \times 8 = 4 \times 8 = 32 \text{ км} \]
27. Расстояния совпали, значит, все верно!

Ответ: Собственная скорость лодки 6 км/ч, расстояние между селениями 32 км.