5А.6 (МФТИ, 1976, билет 10, задача 1) Гладкий диск радиуса R, плоскость которого горизонтальна, вращается вокруг своей оси. От поверхности диска отрывается небольшое тело, которое без трения скользит по диску. На каком расстоянии от оси оторвалось тело, если за время, пока оно соскользнуло с диска, диск сделал полный оборот?

1. Пусть тело оторвалось на расстоянии \(r\) от оси, а угловая скорость диска равна \(\omega\). В момент отрыва скорость тела равна скорости точки диска: \(v=\omega r\).

2. После отрыва трения нет, поэтому тело движется равномерно и прямолинейно по касательной. По условию время до края диска равно времени одного оборота: \(t=2\pi/\omega\).

3. За это время тело проходит по касательной расстояние \(s=vt=\omega r\cdot2\pi/\omega=2\pi r\). Радиус диска, проведённый к точке отрыва, перпендикулярен касательной, поэтому на краю диска выполняется \(R^2=r^2+s^2\).

4. Подставим \(s=2\pi r\): \(R^2=r^2(1+4\pi^2)\), следовательно, \(r=\dfrac{R}{\sqrt{1+4\pi^2}}\approx0.157R\).

Ответ: тело оторвалось на расстоянии \(\dfrac{R}{\sqrt{1+4\pi^2}}\approx0.157R\) от оси.