5а. На стороне AR треугольника BAR отметили точку T и провели через неё две прямые: одна из них параллельна BR и пересекает сторону BA в точке Z, а другая параллельна BA и пересекает сторону BR в точке H. Докажите, что если BT — биссектриса треугольника BAR, то BT ⟂ ZH.

Утверждение в таком виде неверно: из условия не следует, что BT перпендикулярна ZH.

Пусть BA = c, BR = a и AT/TR = c/a — по теореме о биссектрисе. Тогда, поскольку TZ ∥ BR и TH ∥ BA, получаем BZ/BA = a/(a+c) и BH/BR = c/(a+c).

Обозначим через u и v векторы из B к A и R соответственно. Тогда векторы BT и ZH пропорциональны a·u + c·v и c·v − a·u. Их скалярное произведение равно ac(a² − c²). Оно равно нулю только при a = c, то есть при BA = BR.

Например, при BA = 2 и BR = 1 условие биссектрисы выполнено, но это скалярное произведение ненулевое, поэтому BT и ZH не перпендикулярны.

Вывод: в задаче, вероятно, пропущено дополнительное условие BA = BR либо допущена ошибка в формулировке. Без уточнения доказать требуемое нельзя.