6. (1,5 б) Внесіть множник під знак кореня, якщо m>0 i n>0 -3m²n³√m/n

Решение:

Чтобы внести множитель под знак корня, нужно возвести его в степень, равную показателю корня. В данном случае показатель корня равен 3.

\( -3m^2 n^3 \sqrt[3]{\frac{m}{n}} = - \sqrt[3]{(3m^2 n^3)^3 \cdot \frac{m}{n}} \)

\( = - \sqrt[3]{3^3 \cdot (m^2)^3 \cdot (n^3)^3 \cdot \frac{m}{n}} \)

\( = - \sqrt[3]{27 \cdot m^{2\cdot 3} \cdot n^{3\cdot 3} \cdot \frac{m}{n}} \)

\( = - \sqrt[3]{27 m^6 n^9 \cdot \frac{m}{n}} \)

\( = - \sqrt[3]{27 m^6 \cdot m \cdot n^9 \cdot n^{-1}} \)

\( = - \sqrt[3]{27 m^{6+1} n^{9-1}} \)

\( = - \sqrt[3]{27 m^7 n^8} \)

Ответ: \( -\sqrt[3]{27 m^7 n^8} \)