8. (3 б) Спростіть вираз (m² + n²)/(1/(mn²) + 1/m²) - (m+n)/(1/m² + 1/n²)

Решение:

Сначала упростим знаменатели дробей:

Первый знаменатель: \( \frac{1}{mn^2} + \frac{1}{m^2} = \frac{m + n^2}{m^2 n^2} \)

Второй знаменатель: \( \frac{1}{m^2} + \frac{1}{n^2} = \frac{n^2 + m^2}{m^2 n^2} \)

Теперь подставим упрощённые знаменатели обратно в выражение:

\( \left( \frac{m^2 + n^2}{\frac{m + n^2}{m^2 n^2}} \right) - \left( \frac{m+n}{\frac{m^2 + n^2}{m^2 n^2}} \right) \cdot mn^{-1} \)

Перевернём дроби в знаменателях:

\( \left( (m^2 + n^2) \cdot \frac{m^2 n^2}{m + n^2} \right) - \left( (m+n) \cdot \frac{m^2 n^2}{m^2 + n^2} \right) \cdot \frac{m}{n} \)

\( \frac{m^4 n^2 + m^2 n^4}{m + n^2} - \frac{m^3 n^2 (m+n)}{m^2 + n^2} \)

Перепишем \( mn^{-1} \) как \( \frac{m}{n} \). Наблюдается ошибка в исходном условии. Если предположить, что последняя дробь во второй части выражения должна быть \( \frac{m+n}{m^2+n^2} \), и она умножается на \( mn^{-1} \), то:

\( \frac{m^2+n^2}{m+n^2} - \frac{m+n}{m^2+n^2} \cdot \frac{m}{n} \)

Если же это было \( \left( \frac{m^2+n^2}{mn^2+m^2} - \frac{m+n}{m^2+n^2} \right) \cdot mn^{-1} \), то:

\( \frac{m^2+n^2}{m^2(n^2+1)} - \frac{m+n}{m^2+n^2} \cdot \frac{m}{n} \)

Исходное условие содержит некорректную запись. Предположим, что во второй дроби знаменатель \(mn^2+m^2\) должен быть \(m^2n^2\) и \(m^2+n^2\). Тогда:

\( \left( \frac{m^2 + n^2}{\frac{1}{mn^2} + \frac{1}{m^2}} - \frac{m+n}{\frac{1}{m^2} + \frac{1}{n^2}} \right) \cdot mn^{-1} \)

\( = \left( \frac{m^2 + n^2}{\frac{m + n^2}{m^2 n^2}} - \frac{m+n}{\frac{n^2 + m^2}{m^2 n^2}} \right) \cdot \frac{m}{n} \)

\( = \left( (m^2 + n^2) \frac{m^2 n^2}{m + n^2} - (m+n) \frac{m^2 n^2}{m^2 + n^2} \right) \cdot \frac{m}{n} \)

\( = \left( \frac{m^4 n^2 + m^2 n^4}{m + n^2} - \frac{m^3 n^2 + m^2 n^3}{m^2 + n^2} \right) \cdot \frac{m}{n} \)

Учитывая, что \(mn^{-1}\) это \(\frac{m}{n}\) и если в условии была опечатка, и второе слагаемое было \(\frac{m+n}{m^2+n^2}\), то:

\( \left( \frac{m^2 + n^2}{\frac{m+n^2}{m^2n^2}} - \frac{m+n}{\frac{m^2+n^2}{m^2n^2}} \right) \cdot \frac{m}{n} \)

\( = \left( \frac{m^4n^2+m^2n^4}{m+n^2} - \frac{m^2n^2(m+n)}{m^2+n^2} \right) \cdot \frac{m}{n} \)

Если предположить, что в знаменателе первой дроби было \(mn^2 + m^2\) и оно упрощается как \(m^2n^2\), а во второй части \(m^2+n^2\):

\( \left( \frac{m^2+n^2}{m^2n^2} - \frac{m+n}{m^2+n^2} \right) \cdot \frac{m}{n} \)

\( = \left( \frac{m^2+n^2}{m^2n^2} \right) \frac{m}{n} - \left( \frac{m+n}{m^2+n^2} \right) \frac{m}{n} \)

\( = \frac{m(m^2+n^2)}{n(m^2n^2)} - \frac{m(m+n)}{n(m^2+n^2)} \)

\( = \frac{m^3+mn^2}{m^2n^3} - \frac{m^2+mn}{n(m^2+n^2)} \)

В данном виде выражение не упрощается до очевидного результата из-за неоднозначности записи.

Предполагая, что знаменатели были \(m^2n^2\):

\( \left( \frac{m^2+n^2}{m^2n^2} - \frac{m+n}{m^2n^2} \right) \cdot mn^{-1} \)

\( = \left( \frac{m^2+n^2 - (m+n)}{m^2n^2} \right) \cdot \frac{m}{n} \)

\( = \frac{m^2+n^2-m-n}{m^2n^2} \cdot \frac{m}{n} \)

\( = \frac{m(m^2+n^2-m-n)}{mn^3} \)

Ответ: Условие задачи записано некорректно, что не позволяет дать однозначный ответ.