6. (1 балл) Найти, больший корень уравнения: \(\log_3 |3x+2| = \log_3 7x\)

Решение:

Для того чтобы логарифмы были определены, должны выполняться условия:

• \( |3x+2| > 0 \), что верно при \( x e -\frac{2}{3} \)
• \( 7x > 0 \), откуда \( x > 0 \)

Приравняем аргументы логарифмов:

\[ |3x+2| = 7x \]

Рассмотрим два случая:

1. Случай 1: \( 3x+2 \ge 0 \), то есть \( x \ge -\frac{2}{3} \). В этом случае \( |3x+2| = 3x+2 \).

\[ 3x + 2 = 7x \]\[ 2 = 7x - 3x \]\[ 2 = 4x \]\[ x = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \]

Это решение удовлетворяет условию \( x > 0 \) и \( x \ge -\frac{2}{3} \).

2. Случай 2: \( 3x+2 < 0 \), то есть \( x < -\frac{2}{3} \). В этом случае \( |3x+2| = -(3x+2) \).

\[ -(3x+2) = 7x \]\[ -3x - 2 = 7x \]\[ -2 = 7x + 3x \]\[ -2 = 10x \]\[ x = -\frac{2}{10} = -\frac{1}{5} \]

Это решение не удовлетворяет условию \( x > 0 \), поэтому оно не подходит.

Единственный корень уравнения: \( x = \frac{1}{2} \). Следовательно, это и есть больший корень.

Ответ: \( \frac{1}{2} \)