6. (1балл) Найти значение выражения cosa , если известно, что $$\sin \alpha = \frac{1}{3}$$ и угол а находится во 1 четверти.

Решение:

1. Используем основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \).
2. Подставим известное значение \( \sin \alpha \): \( (\frac{1}{3})^2 + \cos^2 \alpha = 1 \).
3. Вычислим квадрат синуса: \( \frac{1}{9} + \cos^2 \alpha = 1 \).
4. Выразим \( \cos^2 \alpha \): \( \cos^2 \alpha = 1 - \frac{1}{9} \) \( \cos^2 \alpha = \frac{9}{9} - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} \).
5. Найдем \( \cos \alpha \), извлекая квадратный корень: \( \cos \alpha = \pm \sqrt{\frac{8}{9}} = \pm \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{9}} = \pm \frac{2\sqrt{2}}{3} \).
6. Так как угол \( \alpha \) находится в первой четверти, косинус в этой четверти положительный.

Ответ: \( \cos \alpha = \frac{2\sqrt{2}}{3} \).