7.(1балл) Решить уравнение: $$2 \sin^2 x - 3\sin x - 2 = 0$$

Решение:

1. Введем замену переменной: пусть \( t = \sin x \). Тогда уравнение примет вид: \( 2t^2 - 3t - 2 = 0 \).
2. Решим квадратное уравнение для \( t \) с помощью дискриминанта. \( D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 \).
3. Найдем корни \( t \): \( t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2 \). \( t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -0.5 \).
4. Теперь вернемся к замене \( t = \sin x \).
5. Первый случай: \( \sin x = 2 \). Это уравнение не имеет решений, так как значение синуса не может быть больше 1.
6. Второй случай: \( \sin x = -0.5 \). \( \sin x = -\frac{1}{2} \).
7. Общее решение для \( \sin x = -\frac{1}{2} \) имеет вид: \( x = (-1)^n \arcsin(-\frac{1}{2}) + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
8. Так как \( \arcsin(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6} \), то \( x = (-1)^n (-\frac{\pi}{6}) + \pi n \).

Ответ: \( x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \).