6. (2 балла) Задайте первообразную F(x) для функции f(x)=3x²-2х, если известны координаты точки М (1, 4) графика F(x).

Решение:

Чтобы найти первообразную \( F(x) \) для функции \( f(x) = 3x^2 - 2x \), нужно проинтегрировать \( f(x) \).

Интегрируем \( f(x) \):

\[ F(x) = \int (3x^2 - 2x) dx = \frac{3x^{2+1}}{2+1} - \frac{2x^{1+1}}{1+1} + C = \frac{3x^3}{3} - \frac{2x^2}{2} + C = x^3 - x^2 + C \]

Использование точки М(1, 4):

Мы знаем, что точка \( M(1, 4) \) принадлежит графику \( F(x) \), значит, при \( x = 1 \), \( F(x) = 4 \). Подставим эти значения в уравнение для \( F(x) \) для нахождения \( C \):

\[ 4 = (1)^3 - (1)^2 + C \] \[ 4 = 1 - 1 + C \] \[ 4 = C \]

Итоговая первообразная:

Теперь подставим найденное значение \( C \) в уравнение для \( F(x) \).

\[ F(x) = x^3 - x^2 + 4 \]

Вывод:

Ответ: F(x) = x³ - x² + 4.