8. (2 балла) На рисунке изображен график некоторой функции y=f(x). Пользуясь рисунком, вычислите определенный интеграл ∫⁵₁ f(x)dx.

Решение:

Определенный интеграл \( \int_1^5 f(x) dx \) равен площади фигуры, ограниченной графиком функции \( y=f(x) \), осью \( Ox \) и прямыми \( x=1 \) и \( x=5 \).

Рассмотрим фигуру на графике:

• На отрезке \( [1; 3] \) график представляет собой горизонтальную линию \( y=4 \). Фигура на этом участке — прямоугольник с шириной \( 3-1=2 \) и высотой \( 4 \). Площадь этого прямоугольника: \( S_1 = 2 \times 4 = 8 \).
• На отрезке \( [3; 5] \) график является наклонной линией. Фигура на этом участке — трапеция с основаниями \( 4 \) (в точке \( x=3 \)) и \( 0 \) (в точке \( x=5 \)), и высотой \( 5-3=2 \). Площадь этой трапеции: \( S_2 = \frac{4+0}{2} \times 2 = 4 \).

Суммируем площади:

\( \int_1^5 f(x) dx = S_1 + S_2 = 8 + 4 = 12 \)

Ответ: 12.