6.215. Решите системы неравенств: а) 8x − 2 < x + 6; 3 − 2x > x/2 − 4; |x − 7| + |x − 9| < 15. б) 2x − 1 > x + 2; x/2 − 3 < (x − 1)/3; |x − 3| + |x − 16| < 15. в) |x − 1| < 9 − 2x; |x − 5| + |x − 6| + |x − 7| > 15. г) |x − 4| < x − 8; |x − 1| + |x − 2| + |x − 8| < 8.

а) Первое неравенство даёт \(7x<8\), то есть \(x<\frac87\). Второе: \(3-2x>\frac{x}{2}-4\Rightarrow x<\frac{14}{5}\). Для суммы модулей разбиваем по точкам 7 и 9: условие \(|x-7|+|x-9|<15\) выполняется при \(\frac12

б) Первое неравенство даёт \(x>3\), второе — \(x<16\). Для суммы модулей: на \([3;16]\) она равна 13; вне этого промежутка условие выполняется при \(2

в) Из \(|x-1|<9-2x\) следует \(x<\frac{10}{3}\). Для второго неравенства разбиваем по точкам 5, 6 и 7. При \(x\le5\) сумма равна \(18-3x\), поэтому она больше 15 при \(x<1\). На промежутке \([5;7]\) сумма не превосходит 3, так что условие не выполняется. При \(x\ge7\) сумма равна \(3x-18\), и условие выполняется при \(x>11\). Пересечение с \(x<\frac{10}{3}\) — \((-;1)\).

г) Первое неравенство требует \(x-8>0\), то есть \(x>8\). Тогда \(|x-4|=x-4\), и условие стало бы \(x-4

Ответ: а) \((\frac12;\frac87)\); б) \((3;16)\); в) \((-;1)\); г) \(\varnothing\).