6. (3 б) Знайдіть область визначення виразу √2 + 3x – 5х². У відповідь запишіть найбільше ціле значення з області визначення даного виразу.

Решение:

Щоб знайти область визначення виразу \( \sqrt{2 + 3x - 5x^2} \), необхідно, щоб підкореневий вираз був невід'ємним:

\[ 2 + 3x - 5x^2 \ge 0 \]

Помножимо нерівність на -1 і змінимо знак нерівності:

\[ 5x^2 - 3x - 2 \le 0 \]

Знайдемо корені квадратного тричлена \( 5x^2 - 3x - 2 = 0 \) за допомогою дискримінанта:

\[ D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(5)(-2) = 9 + 40 = 49 \]

Корені рівняння:

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{49}}{2 \cdot 5} = \frac{3 + 7}{10} = \frac{10}{10} = 1 \]

\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{49}}{2 \cdot 5} = \frac{3 - 7}{10} = \frac{-4}{10} = -0.4 \]

Оскільки парабола \( y = 5x^2 - 3x - 2 \) має вітки, спрямовані вгору, нерівність \( 5x^2 - 3x - 2 \le 0 \) виконується при \( x \) між коренями, тобто:

\[ -0.4 \le x \le 1 \]

Область визначення виразу — відрізок \( [-0.4; 1] \).

Найбільше ціле значення з цього відрізка — це 1.

Відповідь: 1.