6. (3 балла) В прямоугольном треугольнике ABC (∠C=90°) проведена высота СН. Найдите углы треугольника АСН,

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC \( \angle C = 90° \). Высота CH проведена из вершины прямого угла к гипотенузе AB.

Рассмотрим треугольник △ABC. Сумма углов равна 180°:

\( \angle A + \angle B + \angle C = 180° \)

\( \angle A + \angle B + 90° = 180° \)

\( \angle A + \angle B = 90° \)

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник △ACH. У него \( \angle CHA = 90° \) (так как CH - высота).

Сумма углов в △ACH равна 180°:

\( \angle A + \angle ACH + \angle CHA = 180° \)

\( \angle A + \angle ACH + 90° = 180° \)

\( \angle A + \angle ACH = 90° \)

Мы знаем, что \( \angle A + \angle B = 90° \) и \( \angle A + \angle ACH = 90° \). Отсюда следует, что \( \angle ACH = \angle B \).

Точно так же, рассматривая прямоугольный треугольник △CBH, мы можем доказать, что \( \angle BCH = \angle A \).

Таким образом, в прямоугольном треугольнике △ACH:

• \( \angle CHA = 90° \)
• \( \angle ACH = \angle B \)
• \( \angle A \) (угол A остается тем же)

Ответ: Углы треугольника АСН равны 90°, ∠A, и ∠B.