6.3. Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

Решение:

1. Неравенство А:
   \[ \log_2 (x-1) < 1 \]
   Для логарифма должно выполняться условие $$x-1 > 0$$, то есть $$x > 1$$.
   Так как основание логарифма (2) больше 1, сравниваем аргументы:
   \[ x-1 < 2^1 \]
   \[ x-1 < 2 \]
   \[ x < 3 \]
   Объединяя условия $$x > 1$$ и $$x < 3$$, получаем: $$1 < x < 3$$. Это решение 3.

   2. Неравенство Б:
   \[ 2^{-2x} > \frac{1}{4} \]
   \[ 2^{-2x} > 2^{-2} \]
   Так как основание степени (2) больше 1, степени можно сравнить:
   \[ -2x > -2 \]
   \[ x < 1 \]
   Это решение 1.

   3. Неравенство В:
   \[ \frac{x-1}{(x-3)^2} > 0 \]
   Числитель должен быть больше нуля, так как знаменатель $$((x-3)^2)$$ всегда больше нуля (при $$x \neq 3$$).
   \[ x-1 > 0 \]
   \[ x > 1 \]
   При этом $$x \neq 3$$.
   Получаем: $$1 < x < 3$$ или $$x > 3$$. Это решение 2.

   4. Неравенство Г:
   \[ (x-1)(x-3) > 0 \]
   Метод интервалов. Корни: 1 и 3.
   Рассмотрим знаки на интервалах:
   $$(-\infty; 1)$$: $$(-2)(-4) = 8 > 0$$. Подходит.
   $$(1; 3)$$: $$(2)(-1) = -2 < 0$$. Не подходит.
   $$(3; \infty)$$: $$(4)(1) = 4 > 0$$. Подходит.
   Получаем: $$x < 1$$ или $$x > 3$$. Это решение 4.

   Ответ:

   А — 3

   Б — 1

   В — 2

   Г — 4