6.6. Найдите корень уравнения (1/5)^9-x = 5^-2x.

Решение:

Для решения уравнения \( \left(\frac{1}{5}\right)^{9-x} = 5^{-2x} \) представим \( \frac{1}{5} \) как \( 5^{-1} \).

1. Перепишем левую часть: \( \left(5^{-1}\right)^{9-x} = 5^{-2x} \).
2. Применим свойство степени \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \): \( 5^{-(9-x)} = 5^{-2x} \).
3. Раскроем скобки в показателе степени: \( 5^{-9+x} = 5^{-2x} \).
4. Приравняем показатели степеней: \( -9+x = -2x \).
5. Перенесём \( x \) в правую часть: \( -9 = -2x - x \).
6. Упростим: \( -9 = -3x \).
7. Разделим обе части на \( -3 \): \( x = \frac{-9}{-3} \).
8. Найдём \( x \): \( x = 3 \).

Ответ: x = 3.