6. 7 Найти значение параметра а, при котором имеет бесконечно много решений система уравнений:

Решение:

Система линейных уравнений \( \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} \) имеет бесконечно много решений, если коэффициенты пропорциональны, то есть \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} \).

1. \( \begin{cases} 3x - 4y = 2 \\ ax - 2y = 1 \end{cases} \)

Для бесконечного числа решений должно выполняться условие:

\( \frac{3}{a} = \frac{-4}{-2} = \frac{2}{1} \)

Из \( \frac{-4}{-2} = \frac{2}{1} \) следует \( 2 = 2 \), что верно. Теперь приравняем:

\( \frac{3}{a} = 2 \) \( ightarrow\) \( 2a = 3 \) \( ightarrow\) \( a = \frac{3}{2} \).

2. \( \begin{cases} x + ay = 1 \\ 2x + 5y = 2 \end{cases} \)

Для бесконечного числа решений должно выполняться условие:

\( \frac{1}{2} = \frac{a}{5} = \frac{1}{2} \)

Из \( \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \) следует, что это верно. Теперь приравняем:

\( \frac{1}{2} = \frac{a}{5} \) \( ightarrow\) \( 2a = 5 \) \( ightarrow\) \( a = \frac{5}{2} \).

Ответ: 1) \( a = \frac{3}{2} \); 2) \( a = \frac{5}{2} \).