6.80 Отметьте на координатной плоскости точки A(0; 4), В(8; 0), L(-2; 0), K(-4; −1). Проведите прямые АВ и LK и найдите координаты точки пересечения. На какой из этих прямых лежит точка C(0; 1)?

Решение:

1. Отметим точки на координатной плоскости:
   A(0; 4), В(8; 0), L(-2; 0), K(-4; −1).
2. Проведем прямую AB.
   Чтобы найти уравнение прямой AB, сначала найдем ее угловой коэффициент \( k_{AB} \):
   \[ k_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{0 - 4}{8 - 0} = \frac{-4}{8} = -0.5 \]
   Уравнение прямой имеет вид \( y = kx + b \). Так как прямая проходит через точку A(0; 4), то \( b = 4 \) (это ордината точки пересечения с осью y).
   Уравнение прямой AB: \( y = -0.5x + 4 \).
3. Проведем прямую LK.
   Найдем угловой коэффициент \( k_{LK} \):
   \[ k_{LK} = \frac{y_K - y_L}{x_K - x_L} = \frac{-1 - 0}{-4 - (-2)} = \frac{-1}{-4 + 2} = \frac{-1}{-2} = 0.5 \]
   Так как прямая проходит через точку L(-2; 0), подставим ее координаты в уравнение \( y = kx + b \) для нахождения \( b \):
   \[ 0 = 0.5 \cdot (-2) + b \]
   \[ 0 = -1 + b \]
   \[ b = 1 \]
   Уравнение прямой LK: \( y = 0.5x + 1 \).
4. Найдем точку пересечения прямых AB и LK.
   Решим систему уравнений:
   \[ \begin{cases} y = -0.5x + 4 \\ y = 0.5x + 1 \end{cases} \]
   Приравняем правые части:
   \[ -0.5x + 4 = 0.5x + 1 \]
   \[ 4 - 1 = 0.5x + 0.5x \]
   \[ 3 = 1x \]
   \[ x = 3 \]
   Подставим \( x = 3 \) в любое из уравнений, например, во второе:
   \[ y = 0.5 \cdot 3 + 1 = 1.5 + 1 = 2.5 \]
   Точка пересечения прямых AB и LK имеет координаты (3; 2.5).
5. Проверим, на какой прямой лежит точка C(0; 1).
   Подставим координаты точки C в уравнения прямых:
   Для прямой AB: \( y = -0.5x + 4 \). \( 1 = -0.5 \cdot 0 + 4 \) → \( 1 = 4 \) (неверно).
   Для прямой LK: \( y = 0.5x + 1 \). \( 1 = 0.5 \cdot 0 + 1 \) → \( 1 = 1 \) (верно).

Ответ: Координаты точки пересечения прямых AB и LK: (3; 2.5). Точка C(0; 1) лежит на прямой LK.