6.9. А) Сколько четырёхзначных чисел можно составить, используя цифры 5, 6, 7? Б) Сколько пятизначных чисел можно составить, используя цифры 0, 1, 2, 3? В) Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр 5, 6, 7, если каждую цифру можно использовать только один раз? Г) Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр 0, 3, 5, 6, 7, если каждую цифру можно использовать только один раз?

Решение:

А) Четырёхзначные числа из цифр 5, 6, 7:

Цифр всего 3. Можно повторять. Каждая из 4 позиций может быть занята любой из 3 цифр.

Количество чисел = \( 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^4 = 81 \) число.

Б) Пятизначные числа из цифр 0, 1, 2, 3:

Цифр всего 4. Можно повторять. Первая цифра не может быть 0. Всего 3 варианта (1, 2, 3) для первой позиции. Для остальных 4 позиций — по 4 варианта (0, 1, 2, 3).

Количество чисел = \( 3 \times 4 \times 4 \times 4 \times 4 = 3 \times 4^4 = 3 \times 256 = 768 \) чисел.

В) Трёхзначные числа из цифр 5, 6, 7 (без повторений):

Цифр всего 3. Каждую можно использовать 1 раз. Это число перестановок из 3 элементов.

Количество чисел = \( P_3 = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \) чисел.

Г) Пятизначные числа из цифр 0, 3, 5, 6, 7 (без повторений):

Цифр всего 5. Можно использовать 1 раз. Первая цифра не может быть 0. Всего 4 варианта (3, 5, 6, 7) для первой позиции. Для остальных 4 позиций — 4 оставшиеся цифры.

Количество чисел = \( 4 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 4 \times P_4 = 4 \times 24 = 96 \) чисел.

Ответ: А) 81 число; Б) 768 чисел; В) 6 чисел; Г) 96 чисел.