6.9. А) Сколько четырёхзначных чисел можно составить, используя цифры 5, 6, 7? Б) Сколько пятизначных чисел можно составить, используя цифры 0, 1, 2, 3? В) Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр 5, 6, 7, если каждую цифру можно использовать только один раз? Г) Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр 0, 3, 5, 6, 7, если каждую цифру можно использовать только один раз?

Задание 6.9. Составление чисел из заданных цифр

А) Четырёхзначные числа из цифр 5, 6, 7

В этом случае цифры в четырёхзначном числе могут повторяться. У нас есть 3 доступные цифры (5, 6, 7).

Для каждой из четырёх позиций в числе (тысячи, сотни, десятки, единицы) есть 3 варианта выбора цифры.

Количество четырёхзначных чисел = \( 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^4 = 81 \).

Б) Пятизначные числа из цифр 0, 1, 2, 3

В этом случае цифры в пятизначном числе могут повторяться. У нас есть 4 доступные цифры (0, 1, 2, 3).

Первая цифра (десятки тысяч) не может быть 0, поэтому у нас есть 3 варианта выбора (1, 2, 3).

Для остальных четырёх позиций (тысячи, сотни, десятки, единицы) есть по 4 варианта выбора (0, 1, 2, 3).

Количество пятизначных чисел = \( 3 \times 4 \times 4 \times 4 \times 4 = 3 \times 4^4 = 3 \times 256 = 768 \).

В) Трёхзначные числа из цифр 5, 6, 7 (без повторений)

Здесь каждая цифра может использоваться только один раз. Это задача на перестановки.

Количество вариантов для первой цифры (сотни): 3 (5, 6, или 7).

Количество вариантов для второй цифры (десятки): 2 (осталось 2 цифры).

Количество вариантов для третьей цифры (единицы): 1 (осталась 1 цифра).

Количество трёхзначных чисел = \( 3 \times 2 \times 1 = 3! = 6 \).

Г) Пятизначные числа из цифр 0, 3, 5, 6, 7 (без повторений)

Здесь каждая цифра может использоваться только один раз. Первая цифра не может быть 0.

Количество вариантов для первой цифры (десятки тысяч): 4 (3, 5, 6, или 7).

Количество вариантов для второй цифры (тысячи): 4 (любая из оставшихся 4 цифр, включая 0).

Количество вариантов для третьей цифры (сотни): 3 (любая из оставшихся 3 цифр).

Количество вариантов для четвертой цифры (десятки): 2 (любая из оставшихся 2 цифр).

Количество вариантов для пятой цифры (единицы): 1 (оставшаяся 1 цифра).

Количество пятизначных чисел = \( 4 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 4 \times 4! = 4 \times 24 = 96 \).

Ответ: А) 81; Б) 768; В) 6; Г) 96.