6. а) В треугольнике ABC проведена медиана BK. Известно, что AB = BC. Найдите AC, если AB = 50, а BK = 14. б) В треугольнике ABC проведена биссектриса BK. Известно, что AB = BC. Найдите BK, если AB = 30, а AC = 36. в) В треугольнике ABC проведена высота BK. Известно, что AB = BC. Найдите AC, если AB = 20, а BK = 16. г) В треугольнике ABC проведена медиана BK. Известно, что AB = BC. Найдите BK, если AB = 29, а AC = 40.

Так как \(AB=BC\), треугольник равнобедренный с основанием \(AC\). Проведённые из вершины \(B\) к основанию медиана, биссектриса и высота также являются высотой и делят основание пополам. Используем теорему Пифагора.

1. а) Медиана делит основание пополам. В прямоугольном треугольнике \(ABK\): \(AK=\sqrt{AB^2-BK^2}=\sqrt{50^2-14^2}=\sqrt{2304}=48\). Поэтому \(AC=2AK=96\).
2. б) Биссектриса вершины равнобедренного треугольника одновременно является медианой и высотой, поэтому \(AK=AC/2=18\). Тогда \(BK=\sqrt{AB^2-AK^2}=\sqrt{30^2-18^2}=\sqrt{576}=24\).
3. в) \(AK=\sqrt{AB^2-BK^2}=\sqrt{20^2-16^2}=\sqrt{144}=12\). Поэтому \(AC=2AK=24\).
4. г) \(AK=AC/2=20\). Тогда \(BK=\sqrt{AB^2-AK^2}=\sqrt{29^2-20^2}=\sqrt{441}=21\).

Ответ: а) \(AC=96\); б) \(BK=24\); в) \(AC=24\); г) \(BK=21\).