6. △ABC. O — центр вписанной окружности. OD ⟂ ABC. AC=BC=5. AB=6. DO=1. AM=MB. DM=?

Найдём высоту треугольника ABC к основанию AB. Так как треугольник равнобедренный, эта высота проходит через середину M основания, и \(AM=3\).

По теореме Пифагора высота равна \(\sqrt{AC^2-AM^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4\). Площадь треугольника равна \(\dfrac12\cdot6\cdot4=12\), а полупериметр — \(\dfrac{5+5+6}{2}=8\).

Радиус вписанной окружности \(OM=\dfrac{S}{p}=\dfrac{12}{8}=1\), поскольку расстояние от центра вписанной окружности до стороны AB равно радиусу.

Так как \(OD\perp ABC\), то \(OD\perp OM\). В прямоугольном треугольнике DOM:

\(DM=\sqrt{DO^2+OM^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}\).

Ответ: \(DM=\sqrt{2}\).