6. △ABC. O — центр вписанной окружности. OD ⟂ плоскости ABC. AC=BC=5. AB=6. DO=1. AM=MB. DM=?

Поскольку \(AC=BC=5\), треугольник ABC равнобедренный, а медиана OM к основанию AB является высотой. Тогда \(AM=MB=3\).

Найдём высоту треугольника к AB по теореме Пифагора:

\(CM=\sqrt{AC^2-AM^2}=\sqrt{25-9}=4\).

Площадь треугольника равна \(S=\dfrac{6\cdot4}{2}=12\), а полупериметр — \(p=\dfrac{5+5+6}{2}=8\). Радиус вписанной окружности:

\(OM=r=\dfrac{S}{p}=\dfrac{12}{8}=\dfrac{3}{2}\).

Так как \(OD\) перпендикулярен плоскости ABC, он перпендикулярен OM. Из прямоугольного треугольника DOM:

\(DM=\sqrt{DO^2+OM^2}=\sqrt{1+\left(\dfrac{3}{2}\right)^2}=\dfrac{\sqrt{13}}{2}\).

Ответ: \(\dfrac{\sqrt{13}}{2}\).