6. Часть С. При выполнении заданий этой части запишите подробное решение. 1. В прямоугольном треугольнике ABC (∠C = 90°) биссектрисы CD и АЕ пересекаются в точке О. ∠AOC = 105°. Найдите меньший острый угол треугольника АВС.

Решение:

Дан прямоугольный треугольник ABC, где \( \angle C = 90^\circ \). CD — биссектриса угла C, AE — биссектриса угла A. Они пересекаются в точке O.

1. Найдем углы, образованные биссектрисами:

• Так как CD — биссектриса \( \angle C = 90^\circ \), то \( \angle ACD = \angle BCD = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ \).
• В треугольнике AOC, \( \angle AOC = 105^\circ \). Сумма углов треугольника равна 180°. Значит, \( \angle OAC + \angle OCA + \angle AOC = 180^\circ \).
• Подставляем известные значения: \( \angle OAC + 45^\circ + 105^\circ = 180^\circ \).
• \( \angle OAC + 150^\circ = 180^\circ \) → \( \angle OAC = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ \).

2. Найдем острые углы треугольника ABC:

• \( \angle OAC \) является частью \( \angle BAC \). Поскольку AE — биссектриса \( \angle BAC \), то \( \angle OAC = \angle BAE = \angle BAC / 2 \).
• Следовательно, \( \angle BAC = 2 \cdot \angle OAC = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ \).
• Теперь найдём \( \angle ABC \). В прямоугольном треугольнике ABC: \( \angle ABC = 180^\circ - \angle BAC - \angle C = 180^\circ - 60^\circ - 90^\circ = 30^\circ \).

3. Определим меньший острый угол:

• Острые углы треугольника ABC равны \( 60^\circ \) и \( 30^\circ \).
• Меньший острый угол — \( 30^\circ \).

Ответ: меньший острый угол треугольника ABC равен $$30^
\circ$$.