6. Через точку А окружности проведены касательная и хорда, равная радиусу окружности. Найти угол меж ними

Решение:

Пусть \( O \) — центр окружности, \( R \) — радиус. Точка \( A \) лежит на окружности. Проведена касательная \( l \) к окружности в точке \( A \) и хорда \( AB \).

По условию, длина хорды \( AB = R \).

Рассмотрим треугольник \( OAB \). Стороны \( OA \) и \( OB \) — радиусы, то есть \( OA = OB = R \).

Так как \( OA = OB = AB = R \), то треугольник \( OAB \) — равносторонний.

Все углы равностороннего треугольника равны \( 60^{\circ} \).

Следовательно, \( \angle OAB = 60^{\circ} \).

Касательная \( l \) перпендикулярна радиусу \( OA \), проведённому в точку касания. Значит, угол между касательной \( l \) и радиусом \( OA \) равен \( 90^{\circ} \).

\( \angle (l, OA) = 90^{\circ} \).

Искомый угол между касательной \( l \) и хордой \( AB \) равен разности между углом между касательной и радиусом и углом между радиусом и хордой:

\( \angle (l, AB) = \angle (l, OA) - \angle OAB = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ} \).

Ответ: 30°.