6. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Известно, что ∠ADB = 43°, ∠ACD = 37° и ∠CAD = 22°. Найдите углы четырёхугольника.

Свойства вписанного четырехугольника:

• Углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
• Сумма противоположных углов равна 180°.

Решение:

1. Угол ABD: Угол ∠ADB и ∠ABD опираются на разные дуги. Однако, ∠CAD и ∠CBD опираются на одну дугу CD. ∠ADB и ∠ACB опираются на одну дугу AB.
2. Находим ∠ABD: В треугольнике ABD, сумма углов равна 180°. ∠BAD + ∠ADB + ∠ABD = 180°. Нам известны ∠ADB = 43° и ∠CAD = 22°. Угол ∠BAD = ∠BAC + ∠CAD.
3. Находим ∠ACB: Угол ∠ADB = 43° и ∠ACB опираются на одну дугу AB. Значит, ∠ACB = ∠ADB = 43°.
4. Находим ∠BAC: Угол ∠BDC и ∠BAC опираются на одну дугу BC.
5. Находим ∠BDC: Угол ∠CAD = 22° и ∠BDC опираются на одну дугу BC. Значит, ∠BDC = ∠CAD = 22°.
6. Находим ∠BAC: В треугольнике BCD, ∠CBD + ∠BDC + ∠BCD = 180°.
7. Находим ∠ABC: ∠ABC = ∠ABD + ∠CBD.
8. Находим ∠BCD: ∠BCD = ∠BCA + ∠ACD = 43° + 37° = 80°.
9. Находим ∠BAD: Угол ∠BCD = 80°. Так как ABCD — вписанный четырехугольник, то ∠BAD + ∠BCD = 180°. ∠BAD = 180° - 80° = 100°.
10. Находим ∠ABC: Угол ∠BAD = 100°. ∠ABC = 180° - ∠BAD = 180° - 100° = 80°.
11. Проверим углы треугольников:
• В треугольнике ABC: ∠BAC + ∠ABC + ∠BCA = ∠BAC + 80° + 43° = 180°. ∠BAC = 180° - 80° - 43° = 57°.
• В треугольнике BCD: ∠CBD + ∠BDC + ∠BCD = ∠CBD + 22° + 80° = 180°. ∠CBD = 180° - 22° - 80° = 78°.
• В треугольнике ACD: ∠CAD + ∠ADC + ∠ACD = 22° + ∠ADC + 37° = 180°. ∠ADC = 180° - 22° - 37° = 121°.
• В треугольнике ABD: ∠ABD + ∠ADB + ∠BAD = ∠ABD + 43° + 100° = 180°. ∠ABD = 180° - 43° - 100° = 37°.
12. Сводка углов:
• ∠BAD = 100°.
• ∠ABC = ∠ABD + ∠CBD = 37° + 78° = 115°.
• ∠BCD = 80°.
• ∠ADC = 121°.
13. Проверка суммы углов четырехугольника: 100° + 115° + 80° + 121° = 416°. Это неверно.

Перепроверим:

1. Углы, опирающиеся на дугу CD: ∠CAD = 22° и ∠CBD. Следовательно, ∠CBD = 22°.
2. Углы, опирающиеся на дугу AD: ∠ABD и ∠ACD = 37°. Следовательно, ∠ABD = 37°.
3. Углы, опирающиеся на дугу AB: ∠ADB = 43° и ∠ACB. Следовательно, ∠ACB = 43°.
4. Углы, опирающиеся на дугу BC: ∠BAC и ∠BDC.
5. Находим ∠BAD: ∠BAD = ∠BAC + ∠CAD. Нам известно ∠CAD = 22°.
6. Находим ∠BCD: ∠BCD = ∠BCA + ∠ACD = 43° + 37° = 80°.
7. Находим ∠BAD: Так как ABCD — вписанный четырехугольник, то ∠BAD + ∠BCD = 180°. ∠BAD = 180° - 80° = 100°.
8. Находим ∠BAC: ∠BAD = ∠BAC + ∠CAD. 100° = ∠BAC + 22°. ∠BAC = 100° - 22° = 78°.
9. Находим ∠BDC: Угол ∠BDC опирается на дугу BC, как и ∠BAC. Значит, ∠BDC = ∠BAC = 78°.
10. Находим ∠ABC: ∠ABC = ∠ABD + ∠CBD = 37° + 22° = 59°.
11. Находим ∠ADC: ∠ADC = ∠ADB + ∠BDC = 43° + 78° = 121°.
12. Проверка суммы углов четырехугольника: ∠BAD + ∠ABC + ∠BCD + ∠ADC = 100° + 59° + 80° + 121° = 360°. Это верно.
13. Проверка противоположных углов: ∠BAD + ∠BCD = 100° + 80° = 180°. ∠ABC + ∠ADC = 59° + 121° = 180°.

Ответ: Углы четырёхугольника: ∠BAD = 100°, ∠ABC = 59°, ∠BCD = 80°, ∠ADC = 121°.