4. Дана прямоугольная трапеция ABCD (∠A = 90°), в которую вписана окружность радиусом 12 см. Сторона CD равна 38 см. Найди среднюю линию трапеции.

Решение:

В прямоугольной трапеции ABCD с \( \angle A = 90° \) вписана окружность радиусом \( r = 12 \) см. Следовательно, высота трапеции \( AD = 2r = 2 \cdot 12 = 24 \) см.

В трапецию можно вписать окружность, если сумма противоположных сторон равна: \( AB + CD = AD + BC \).

У нас \( CD = 38 \) см, \( AD = 24 \) см.

Чтобы найти \( BC \), проведём высоту \( BH \) из вершины \( B \) на основание \( AD \) (или опустим перпендикуляр из B на AD). В прямоугольном треугольнике ABH (где H лежит на CD), \( AH = AB \), \( BH = AD = 24 \) см. \( HD = CD - CH \).

В прямоугольной трапеции ABCD, проведём высоту BH из вершины B на CD. Тогда ABHD — прямоугольник, BH = AD = 24 см. CH = CD - DH. В прямоугольном треугольнике BHC (угол H=90), BC^2 = BH^2 + CH^2. Но это не даёт нам BC напрямую.

Сумма противоположных сторон равна: \( AB + CD = AD + BC \).

\( AB + 38 = 24 + BC \)

\( BC = AB + 38 - 24 = AB + 14 \).

Рассмотрим прямоугольную трапецию. Опустим перпендикуляр из B на CD, обозначим точку пересечения H. Тогда BH = AD = 24. CH = CD - DH. В прямоугольном треугольнике BHC, \( BC^2 = BH^2 + CH^2 \). Так как BH = 24, CH = AB. \( BC^2 = 24^2 + AB^2 \).

Из условия, что в трапецию вписана окружность: \( AB + CD = AD + BC \).

\( AB + 38 = 24 + BC \).

\( BC = AB + 14 \).

Подставим \( BC \) в уравнение \( BC^2 = 24^2 + AB^2 \):

\( (AB + 14)^2 = 576 + AB^2 \)

\( AB^2 + 28AB + 196 = 576 + AB^2 \)

\( 28AB = 576 - 196 \)

\( 28AB = 380 \)

\( AB = \frac{380}{28} = \frac{95}{7} \) см.

Теперь найдём \( BC \): \( BC = AB + 14 = \frac{95}{7} + 14 = \frac{95 + 98}{7} = \frac{193}{7} \) см.

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: \( m = \frac{AB + CD}{2} \).

\( m = \frac{\frac{95}{7} + 38}{2} = \frac{\frac{95 + 266}{7}}{2} = \frac{\frac{361}{7}}{2} = \frac{361}{14} \) см.

Ответ: 361/14 см.