№6. Дана функция $$ y = -x^2 + 6x - 5 $$ а) Постройте её график. б) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [-1;3].

Решение:

а) Построение графика функции $$ y = -x^2 + 6x - 5 $$

Это квадратичная функция, график — парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при \(x^2\) отрицательный.

1. Найдем вершину параболы.

Координата \(x_в\): $$ x_в = \frac{-b}{2a} = \frac{-6}{2(-1)} = \frac{-6}{-2} = 3 $$

Координата \(y_в\): $$ y_в = -(3)^2 + 6(3) - 5 = -9 + 18 - 5 = 4 $$

Вершина параболы находится в точке (3; 4).

2. Найдем точки пересечения с осью \(Ox\) (нули функции). Решим уравнение $$ -x^2 + 6x - 5 = 0 $$

$$ x^2 - 6x + 5 = 0 $$

По теореме Виета: \( x_1 + x_2 = 6 \), \( x_1 x_2 = 5 \).

Корни: \( x_1 = 1 \), \( x_2 = 5 \).

Точки пересечения с \(Ox\): (1; 0) и (5; 0).

3. Найдем точку пересечения с осью \(Oy\). При \( x = 0 \):

$$ y = -(0)^2 + 6(0) - 5 = -5 $$

Точка пересечения с \(Oy\): (0; -5).

б) Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [-1; 3].

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на заданном отрезке, нужно вычислить значения функции в вершине параболы (если она попадает в отрезок) и на концах отрезка.

1. Значение функции в левом конце отрезка (x = -1):

$$ y(-1) = -(-1)^2 + 6(-1) - 5 = -1 - 6 - 5 = -12 $$

2. Значение функции в правом конце отрезка (x = 3):

$$ y(3) = -(3)^2 + 6(3) - 5 = -9 + 18 - 5 = 4 $$

3. Вершина параболы имеет x-координату \( x_в = 3 \), которая является правым концом отрезка. Значение функции в вершине равно 4.

Сравниваем полученные значения: -12, 4.

Наибольшее значение функции на отрезке [-1; 3] равно 4.

Наименьшее значение функции на отрезке [-1; 3] равно -12.

Ответ: а) График — парабола с вершиной в точке (3; 4), пересекающая оси координат в точках (1; 0), (5; 0), (0; -5). б) Наибольшее значение функции равно 4, наименьшее — -12.