№6. Дано: D ∉ (ABC), M ∈ AD, N ∈ BD. Доказать: MN и BC — скрещивающиеся.

Так как M ∈ AD и N ∈ BD, отрезок MN лежит в плоскости (ABD). Прямая BC лежит в плоскости (ABC).

1. Плоскости (ABD) и (ABC) различны: точки A и B принадлежат обеим, а D ∉ (ABC). Их пересечение — прямая AB.
2. MN не совпадает с AB: точка M лежит на AD и не принадлежит AB (при условии, что M отлична от A и D). Поэтому MN пересекает AB в точке M, но не проходит через B.
3. Если бы MN и BC пересекались, их общая точка принадлежала бы обеим плоскостям, то есть лежала бы на AB. Но BC пересекает AB только в точке B, а B не лежит на MN. Значит, MN и BC не пересекаются.
4. Они не параллельны: параллельные прямые, лежащие в разных плоскостях, должны иметь одно направление, параллельное их линии пересечения AB. MN не параллельна AB, поскольку пересекает AB в M.

Следовательно, MN и BC не пересекаются и не параллельны, то есть являются скрещивающимися.

Что и требовалось доказать.

Примечание: для обычного смысла принадлежности точек отрезкам требуется, чтобы M и N были внутренними точками AD и BD. Если допускаются концы, утверждение не всегда верно: например, при M=A отрезки MN и BC могут пересекаться в B, если N=B.