6) Дано: α ∥ β, \(\dfrac{AB}{A₁B₁}=\dfrac{1}{2}\). Найти: \(\dfrac{S_{△ABO}}{S_{△A₁B₁O}}\).

Поскольку α ∥ β, отрезки AB и A₁B₁ параллельны. Углы при O равны как вертикальные, а соответствующие углы при параллельных прямых равны, поэтому △ABO ∼ △A₁B₁O.

Коэффициент подобия равен отношению соответствующих сторон: \(\dfrac{AB}{A₁B₁}=\dfrac{1}{2}\). Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

\(\dfrac{S_{△ABO}}{S_{△A₁B₁O}}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{1}{4}\).

Ответ: \(\dfrac{1}{4}\).