6. Для функции y = f(x) найти производную: a) f(x) = 5x³ + 3x⁹; б) f(x) = 2 cos x + 3; в) f(x) = - 1/x³; г) f(x) = sin 3x

Решение:

Для нахождения производной будем использовать правило дифференцирования степенной функции \( (x^n)' = nx^{n-1} \) и производную тригонометрических функций.

1. \( f'(x) = (5x^3 + 3x^9)' = 5 \cdot 3x^{3-1} + 3 \cdot 9x^{9-1} = 15x^2 + 27x^8 \)
2. \( f'(x) = (2 \cos x + 3)' = 2(-\sin x) + 0 = -2\sin x \)
3. \( f(x) = - \frac{1}{x^3} = -x^{-3} \). \( f'(x) = -(-3)x^{-3-1} = 3x^{-4} = \frac{3}{x^4} \)
4. \( f'(x) = (\sin 3x)' \). Применим правило дифференцирования сложной функции: \( (\sin u)' = \cos u \cdot u' \). Здесь \( u = 3x \), \( u' = 3 \). \( f'(x) = \cos(3x) \cdot 3 = 3\cos 3x \)

Ответ: а) \( 15x^2 + 27x^8 \); б) \( -2\sin x \); в) \( \frac{3}{x^4} \); г) \( 3\cos 3x \).